Más de "¿Qué es un límite?" :
Cuando el cálculo fue descubierto alrededor del año 1670 por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, de forma separada, su objetivo era responder preguntas matemáticas que la aritmética y el álgebra no podían responder, ya que no eran lo suficientemente dinámicas. Las preguntas que se formula el cálculo están relacionadas con el cambio continuo de cantidades, las rectas tangentes, pendientes, áreas, series, infinitesimales, etc. El concepto fundamental del cálculo, del cual salen dos de sus subramas más importantes (cálculo diferencial e integral) es el límite. En este post se explicará qué es un límite de forma informal. Se dejará la definición formal para la parte 2, y las demostraciones para la parte 3.
Supóngase que se tiene la función f(x) :
Al evaluar la función en x|x=1 se presenta la forma indeterminada 0/0. Con las limitaciones del álgebra, es imposible “predecir” qué pasa exactamente en f(x) cuando x=1, pero el cálculo introduce el concepto de límite, que nos permite aproximar qué sucede en dicho punto acercándose cada vez más a él desde valores muy, muy cercanos, mayores y menores, sin nunca “tocarlo”.
Un límite recibe un valor c que puede, o no, pertenecer al dominio de Q(x), y una función Q(x). El límite evaluará la función en valores de su dominio muy, muy cercanos a c (tanto mayores como menores a él), y retornará un valor L, el cual es un valor que puede o no pertenecer al rango de la función, pero que es al que los valores muy, muy cercanos a c se aproximan, si es que éste existe.
En el caso de f(x), para darse una idea de qué sucede cuando x=1, se evaluará en valores
- mayores : { 1.1 , 1.0001 , 1.00000001 }
- menores : { 0.9 , 0,9999 , 0.99999999 }
Muy cercanos, para posteriormente determinar si los valores correspondientes en el rango se acercan a algún número L, así:
Al hacer este análisis, es fácil darse cuenta que entre más se acerca x al 1, más se acerca f(x) a 3, es decir que el límite de f(x), cuando x se acerca a 1, es 3. Esto último se representa así:
Esto también se puede apreciar en una gráfica :
Ya que aunque hay una discontinuidad en x=1, si se removiera ésta, el valor que le correspondería en el rango sería 3.
En este caso, 1 no se encuentra en el dominio de la función, aunque 3 sí se encuentra en el rango, ya que f(x) evaluado en x=-2 da como resultado 3.
Aun así, como se había mencionado arriba, c puede, o no, pertenecer al dominio de la función, y L puede, o no, pertenecer al rango. Es decir que no es necesario que una función esté indefinida en un punto para evaluar el límite de la función en dicho punto.
Para ejemplificar esto, suponga que se tiene la función :
La cual está definida en su dominio para x|x∊(-∞,∞).
Ahora, aunque es fácil saber qué sucede en f(x) cuando x=2, se puede evaluar el límite de f(x) cuando x se acerca a 2, y nos debería dar el mismo valor que f(2) retorna, es decir 4.
Se aprecia que al igual que la anterior función se acercaba a 3, ésta se acerca a 4, solo que en este caso, sí está definida en el punto en que se encuentra su límite.
Esto se puede constatar en la gráfica:
Y se representa:
Conclusión :
De acuerdo a lo expuesto anteriormente, es posible dar una definición informal de límite:
- Téngase una función f(x), si en el rango de dicha función f(x) se acerca a un número L arbitrariamente, a medida que en el dominio x se acerca a un valor c, desde valores mayores y menores a c, entonces el límite de f(x) cuando x se aproxima a c, es L. La condición necesaria (resaltada) se expresaría :
y gráficamente se vería:
En el siguiente post se construirá y explicará la definición formal de límite.
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